Question

【題目】在中，，，，，分別交直線、于點、．

（1）如圖1，當時，求證：；

（2）如圖2，當時，線段、、之間有何數量關系，證明你的結論；

（3）如圖3，當時，旋轉，問線段之間、、有何數量關系？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3），證明見解析

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得，，，然后利用ASA證出，從而證出結論；

（2）過作，，連接AO，證出，AO平分∠BAC，，從而得出OE=OF，BE=OE，將△ONF逆時針旋轉，使OF和OE重合，點N落在點G處，利用SAS即可證出△MOG≌△MON，得出MN =GM，再結合正方形的性質和等量代換即可得出結論；

（3）在上截取，連接，先利用SAS證出，從而得出，，再利用SAS證出，最后利用等量代換即可得出結論．

證明：（1）∵，，，

∴，，

∵，

∴∠AOM＋∠AON=90°，∠CON＋∠AON=90°

∴

在△AOM和△CON中

∴，

∴

（2）、、之間的數量關系是：

過作，，連接AO

∴四邊形為矩形

∵，，

∴，AO平分∠BAC，

∴OE=OF，BE=OE

∴四邊形為正方形，

∵

將△ONF逆時針旋轉，使OF和OE重合，點N落在點G處

∴∠MOG=∠EOM＋∠NOF=90°－∠MON=45°=，OG=ON，GE=FN

在△MOG和△MON中

∴△MOG≌△MON

∴MN =GM=EM＋GE=

∴

而

∴

（3）

在上截取，連接

∵，，，

∴，，

在△BOM和△AOE中

∴，

∴，

∵，

∴

即，

在△MON和△EON中

∴

∴