Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC相交于點D、E，連接AD．過點D作DF⊥AC，垂足為點F，

(1)求證：DF是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4π﹣8

【解析】

(1)連接AD、OD，則AD⊥BC，D為BC中點．OD為中位線，則OD∥AC，根據DF⊥AC可得OD⊥DF得證；

(2)連接OE，利用(1)的結論得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，易得∠BAC＝45°，得出∠AOE＝90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論．

(1)證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

又AB＝AC，

∴D是BC的中點，

連接OD，

由中位線定理，知DO∥AC，

又DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

(2)連接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，

∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，

∴∠BAC＝45°，

∵OA＝OE，

∴∠AOE＝90°，

∵⊙O的半徑為4，

∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，

∴S陰影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8，

故答案為4π﹣8．