Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點，其中點坐標為，與軸交于點.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖①，連接，點在拋物線上，且滿足．求點的坐標；

（3）如圖②，點為軸下方拋物線上任意一點，點是拋物線對稱軸與軸的交點，直線、分別交拋物線的對稱軸于點、．請問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）為定值

【解析】

（1）把點、坐標代入拋物線解析式即求得、的值．

（2）點可以在軸上方或下方，需分類討論．①若點在軸下方，延長到，使構造等腰，作中點，即有，利用的三角函數值，求、的長，進而求得的坐標，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯立，即求出點坐標．②若點在軸上方，根據對稱性，一定經過點關于軸的對稱點，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯立，即求出點坐標．

（3）設點橫坐標為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點、的縱坐標，再求、的長，即得到為定值．

（1）∵拋物線經過點，.

∴，解得：.

∴拋物線的函數表達式為.

（2）①若點在軸下方，如圖1，

延長到，使，過點作軸，連接，作中點，連接并延長交于點，過點作于點.

∵當，解得：，.

∴.

∵，，

∴，，，，

∴中，，，

∵，為中點，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

∴中，，，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴中，，，.

∴，，

∴，，即，

設直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：.

∵，解得：（即點），，

∴.

②若點在軸上方，如圖2，

在上截取，則與關于軸對稱，

∴，

設直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：.

∵，解得：（即點），，

∴.

綜上所述，點的坐標為或．

（3）為定值.

∵拋物線的對稱軸為：直線，

∴，，

設，

設直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：，

當時，，

∴，

設直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：，

當時，，

∴，

∴，為定值．