Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，，以AB為直徑作半圓O，點P從點A出發，沿AD方向以每秒1個單位的速度向點D運動，點Q從點C出發，沿C8方向以每秒3個單位的速度向點B運動，兩點同時開始運動，當一點到達終點后，另一點也隨之停止運動。設運動時間為.

(1)設點M為半圓上任意一點，則DM的最大值為______，最小值為______.

(2)設PQ交半圓于點F和點G(點F在點G的上方)，當時，求的長度；

(3)在運動過程中，PQ和半圓能否相切？若相切，請求出此時l的值，若不能相切，請說明理由；

(4)點N是半圓上一點，且，當運動時，PQ與半圓的交點恰好為點N，直接寫出此時t的值。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)4；(3)不能相切；(4)當運動時，與半圓的交點恰好為點.

【解析】

(1) 找出DM最大和最小的位置，即可得出結論；（2）先確定出AP=3，進而得出∠OFE=30°，即可得出∠FOG=120°，最后用弧長公式即可得出結論；（3）假設PQ與半圓相切，進而表示出PQ=12-2t．QH=12-4t，再用勾股定理建立122+（12-4t）2=（12-2t）2，判斷出出此方程無解，即可得出結論．(4)先判斷出0≤t≤4，再利用S扇形BON=6π，求出∠BON=60°，再判斷出AP始終小于AI，最后得出，建立方程即可得出結論．

解：(1)如圖，連接OD，此時DM最小，

在中，，

；

當點M和點B重合時，連接BD，

DM最大，

故答案為：，

(2)四邊形ABCD是正方形，

，，

當時，四邊形ABQP是矩形，

，

∵，，

，

，解得

，

如圖1，設PQ交半圓于F，G，過點O作于點E，連接OF、OG，

，

∵，

，

∵，

，

∴的長度

(3)不能相切．

理由：若PQ與半圓O相切，設切點為點S，如圖2，

由切線長定理，得，，

．

過點P作于點H，

四邊形APHB是矩形，

，

，

∵在中，，

即：.

∵，此方程無解，

在運動過程中，和半圓不能相切；

(4)∵點是以每秒3個單位的速度向點運動，.

，

∵點是以每秒1個單位的速度向點運動，

即.

如圖3，過點作，交于點，交于點，過點作于點，則四邊形和四邊形都是矩形，

∵，

.

∵，

，.

當點運動到點時，，不符合題意，

始終小于，

，，

∵，，

，.

∵，

.

，解得，

∵，

當運動時，與半圓的交點恰好為點.