Question

【題目】如圖1所示,將矩形OABC置于平面直角坐標系中,點A,C分別在x,y軸的正半軸上,已知點B(4,2),將矩形OABC翻折,使得點C的對應點P恰好落在線段OA(包括端點O,A)上,折痕所在直線分別交BC、OA于點D、E；若點P在線段OA上運動時,過點P作OA的垂線交折痕所在直線于點Q.

（1）求證：CQ=QP
（2）設點Q的坐標為(x,y),求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍;
（3）如圖2,連結OQ,OB,當點P在線段OA上運動時,設三角形OBQ的面積為S,當x取何值時,S取得最小值,并求出最小值；

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接CQ，

由已知易得CD=PD,

∠CDE=∠PDE,

∴ ∠CDQ=∠PDQ,

又DQ=DQ,

∴△CDQ≌△PDQ得CQ=PQ.

（2）

解：∵Q(x,y) ， CQ=PQ=y

設BC與PQ的交點為M，則QM=y-2,CG=x

由勾股定理，得

x2+(y-2)2=y2，

則y=+1(0<x<4).

（3）

解：設直線OB與直線PQ相交于點G(x，y')，

因為B（4,2），所以直線OB為y=，

因為點G在直線OB上，則y'=，

則QG=x2+1-x

則S=×4（x2-x+1）=x2-x+2，

當x=1時，S的最小值為.

【解析】（1）連接CQ，由折疊的性質易得CD=PD,，∠CDE=∠PDE,則∠CDQ=∠PDQ，又DQ=DQ,可得△CDQ≌△PDQ得CQ=PQ；
（2）CQ=PQ=y，在直角三角形CQM中，QM2+CM2=CQ2 ， 可解得y與x的關系；
（3）點G與點Q的橫坐標相同，由點G在OB上易得點G的縱坐標，可知QG的長，而S=S△OQG+S△BQG ， 可得到S與x的關系式，再求最值.
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和二次函數的最值，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正確答案．