Question

5．在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH．

（1）若點P在線段CD上，如圖1．判斷AH與PH的數量關系與位置關系并加以證明；
（2）若點P在線段CD的延長線上，如圖2．
①依題意補全圖2；
②判斷（1）中的結論是否還成立？若成立請直接寫出結論；若不成立請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接HC，根據正方形的性質、等腰直角三角形的性質得到△HDP≌△HQC，根據全等三角形的性質得到HP=HC，∠DHP=∠QHC，根據正方形是軸對稱圖形證明結論；
（2）①根據題意畫出圖形即可；
②同（1）的證明方法相同，根據圖形證明即可．

解答 解：（1）AH=PH，AH⊥PH，
理由如下：如圖1，連接HC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，又QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
由平移的性質可知DP=CQ，
在△HDP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HQ}\\{∠HDP=∠HQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC，
∴HP=HC，∠DHP=∠QHC，
根據正方形是軸對稱圖形得到HA=HC，∠AHD=∠CHD，
∴HA=HP，AH⊥PH；
（2）①補全圖見圖2；
②如圖2，連接HC，
根據正方形是軸對稱圖形得到HA=HC，∠AHD=∠CHD，
AH=PH，AH⊥PH，
理由如下：如圖1，連接HC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，又QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
∴∠HDP=∠HQC=45°，
由平移的性質可知DP=CQ，
在△HDP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HQ}\\{∠HDP=∠HQC}\\{PD=CQ}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC，
∴HP=HC，∠DHP=∠QHC，
∴HA=HP，AH⊥PH．

點評 本題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質、圖形平移的性質、全等三角形的判定與性質等知識，難度適中，解決本題的關鍵是熟記全等三角形的性質定理和判定定理．