Question

11．在直角坐標系中，B是y軸上一點，C是x軸上一點，BC⊥BA，AB=BC，
（1）圖1，若B的坐標是（0，1），C的坐標是（-4，0），求A的坐標．
（2）圖2，F為CA延長線上一點，BF⊥BG，BF=BG，連CG，證明：CF-CG=AC；
（3）圖3，在（2）的條件下，CF交y軸于H，若H是CF的中點，下列結論：①AG=2BH；②BG=GA兩個結論中，只有一個是正確的，請選擇正確的結論進行證明．

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥y軸于E，根據余角的性質得到∠BCO=∠BAE，推出△ABE≌△BCO，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）根據余角的性質得到∠CBG=∠ABF，推出△CBG≌△ABF，根據全等三角形的性質得到CG=AF，等量代換即可得到結論；
（3）①AG=2BH正確；過F作FK∥BC交BH的延長線于K，根據平行線的性質得到∠CBH=∠K，推出△CBH≌△FKH，根據全等三角形的性質得到CB=FH，∠ACB=∠HFK=45°，通過△ABG≌△FBK，即可得到結論．

解答 解：（1）過A作AE⊥y軸于E，
∵BC⊥BA，
∴∠CBO+∠ABE=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BCO=∠BAE，
在△ABE與△BCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOC=∠AEB=90°}\\{∠CBO=∠BAE}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCO，
∴AE=BO，BE=CO，
∵B的坐標是（0，1），C的坐標是（-4，0），
∴OB=1，OC=4，
∴A（1，-3）；

（2）∵BF⊥BG，
∴∠CBG+∠GBO=∠GBO+∠ABF=90°，
∴∠CBG=∠ABF，
在△CBG與△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠CBG=∠ABF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△ABF，
∴CG=AF，
∵CF=AC+AF，
∴CF=AC+CG，
即CF-CG=AC；

（3）①AG=2BH正確；
過F作FK∥BC交BH的延長線于K，
∴∠CBH=∠K，
∵H是CF的中點，
∴CH=FH，
在△CBH與△FHK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBH=∠K}\\{∠CHB=∠KHF}\\{CH=FH}\end{array}\right.$，
∴△CBH≌△FKH，
∴CB=FH，∠ACB=∠HFK=45°，
∴AB=FH，∠BFK=45°+∠BFA，
∵∠GBA=90°-∠ABF=90°-（∠BAC-∠AFB）=45°+∠BFA，
∴∠GBA=∠BFK，
在△ABG與△FBK中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{∠GBA=∠BFK}\\{AB=FK}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FBK，
∴AG=BK=2BH．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．