Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx-2與x軸的兩個交點分別為A（1，0），B（4，0），與y軸的交點為C．

（1）求出拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）點P是在直線x=4右側的拋物線上的一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OCB相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-2；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由A和B兩點在拋物線上，故把兩點坐標代入拋物線解析式中，得到關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值，從而確定出拋物線解析式，然后令求出的解析式中x=0，求出y的值即為C的縱坐標，寫出C的坐標即可；

（2）存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OCB相似，理由為：根據題意畫出圖形，如圖所示，根據題意分別求出OA，OB及OC的長，設出P點的橫坐標為m，代入拋物線解析式表示出縱坐標，因縱坐標為負值，求出其縱坐標的相反數即為PM的長，且用OM﹣OA表示出AM的長，若三角形相似，根據對應點對應不同分兩種情況，由相似三角形對應邊成比例列出關于m的方程，分別求出方程的解即可得到m的值，從而確定出P的坐標．

試題解析：解：（1）把A（1，0）和B（4，0）代入拋物線解析式得：

，②﹣①×4得：12a=﹣6，解得：a=﹣，把a=﹣代入①，解得：b=，所以方程組的解為：，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2，令x=0，解得y=2，則C的坐標為（0，﹣2）；

（2）存在．根據題意畫出圖形，如圖所示，設P的坐標為（m，﹣m2+m﹣2）（m＞4），根據題意得：OA=1，OC=2，OB=4，則PM=m2﹣m+2，MA=MO﹣OA=m﹣1，若△BOC∽△AMP，∴=，即=，化簡得：m2﹣6m+5=0，即（m﹣1）（m﹣5）=0，解得：m1=1（舍去），m2=5，則P坐標為（5，﹣2）；

若△BOC∽△PMA，∴=，即=，化簡得：m2﹣9m+8=0，即（m﹣1）（m﹣8）=0，解得：m1=1（舍去），m2=8，則P的坐標為（8，﹣14）．

綜上所述：滿足題意的P有兩個，其坐標分別為（5，﹣2）或（8，﹣14）．