Question

10．如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=12，點P、Q分別在AB、BC邊上，且∠AQP=∠B．
（1）求證：△BQP∽△CAQ；
（2）若BP=4.5，求∠BPQ的度數；
（3）若在BC邊上存在兩個點Q，滿足∠AQP=∠B，求BP長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C，根據三角形的外角的性質得到∠PQB=∠CAQ，根據相似三角形的判定定理證明結論；
（2）根據相似三角形的性質求出BQ=6，根據等腰三角形的三線合一得到∠CQA=90°，根據相似三角形的性質得到答案；
（3）設BQ=x，BP=m，根據相似三角形的性質得到一元二次方程，根據題意和根的判別式計算即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠AQP=∠B．
∴∠AQP=∠C．
又∵∠AQB=∠AQP+∠PQB，∠AQB=∠CAQ+∠C，
∴∠PQB=∠CAQ．
∴△BQP∽△CAQ．
（2）∵△BQP∽△CAQ，
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$．
∴$\frac{BQ}{8}$=$\frac{4.5}{12-BQ}$，
解得BQ=6．
∵BC=12，
∴BQ=CQ=6．
又∵AB=AC，
∴AQ⊥BC，
∴∠CQA=90°．
∵△BQP∽△CAQ，
∴∠BPQ=∠CQA=90°．
（3）∵△BQP∽△CAQ，
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$．
設BQ=x，BP=m，則 $\frac{x}{8}$=$\frac{m}{12-x}$，
整理得  x²-12x+8m=0．
∵在BC邊上存在兩個點Q，
∴方程有兩個不相等的正實數根，
∴△=12²-32m＞0，解得 m＜$\frac{9}{2}$，
∴BP長的取值范圍為0＜BP＜$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質以及一元二次方程根的判別式的應用，掌握相似三角形的對應邊的比相等是解題的關鍵．