【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=-x+4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點.動點P從點A出發,在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向點O作勻速運動,到達點O停止運動,點A關于點P的對稱點為點Q,以線段PQ為邊向上作正方形PQMN.設運動時間為t秒.
(1)當正方形PQMN的邊MN經過點B時,t= 秒;
(2)在運動過程中,設正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S,求S與t的函數表達式;
(3)連結BN,則BN的最小值為 .
【答案】(1);(2)①當0<t≤1時,S=
t2;②當1<t≤
時,∴S=﹣
t2+18t;③當
<t≤2時, S=﹣3t2+12;(3)
.
【解析】
(1) 根據y=-x+4容易得出A(6,0),B(0,4),所以當正方形PQMN的邊MN經過點B時,正方形邊長為4,則PQ=AP=4,進一步求出t=
;
(2)分三種情況,①利用正方形的面積減去三角形的面積,②利用矩形的面積減去三角形的面積,③利用梯形的面積,即可得出結論;
(3)先找出點N的運動軌跡所在直線的解析式,再用面積求高的方法求出BN的最小值.
解:(1)分別令x=0,y=0,可得 A(6,0),B(0,4),故OB=4.
∴當正方形PQMN的邊MN經過點B時,正方形邊長為4,則PQ=AP=4,
∴t=;
(2)(2)當點Q在原點O時,OA=6,
∴AP=OA=3,
∴t=3÷3=1,
①當0<t≤1時,如圖1,
令x=0,
∴y=4,
∴B(0,4),
∴OB=4,
∵A(6,0),
∴OA=6,
在Rt△AOB中,tan∠OAB==
,
由運動知,AP=3t,
∴P(6-3t,0),
∴Q(6-6t,0),
∴PQ=AP=3t,
∵四邊形PQMN是正方形,
∴MN∥OA,PN=PQ=3t,
在Rt△APD中,tan∠OAB==
=
,
∴PD=2t,
∴DN=t,
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB,
∴tan∠DCN==
=
,
∴CN=t,
∴S=S正方形PQMN-S△CDN=-
t×
t=
t2;
②當1<t≤時,如圖2,
同①的方法得,DN=t,CN=t,
∴S=S矩形OENP-S△CDN=3t×(6-3t)-t×
t=-
t2+18t;
③當<t≤2時,如圖3,S=S梯形OBDP=
(2t+4)(6-3t)=-3t2+12;
∴①當0<t≤1時,S=t2;②當1<t≤
時,∴S=﹣
t2+18t;③當
<t≤2時, S=﹣3t2+12;
(3)如圖,
設點N的運動軌跡所在直線解析式為y=kx+b.由AP=PN=3t,可知當t=1時,N(3,3),且直線過A(6,0),易得解析式為y=-x+6.當x=0時,y=6.
直線y=-x+6與y軸交于點C,則C(0,6).可得OC=6,BC=6-4=2.AC=6
∴S△ABC=×6×2=6,
當BN⊥AC時,BN最小.
S△ABC=BN×AC,
∴BN==
故答案為
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【題目】在平面直角坐標系中(如圖),已知拋物線
經過原點,與
軸的另一個交點為
,頂點為
.
(1)求這條拋物線表達式;
(2)將該拋物線向右平移,平移后的新拋物線頂點為,它與
軸交點為
,聯結
、
,設點
的縱坐標為
,用含
的代數式表示
的正切值;
(3)聯結,在(2)的條件下,射線
平分
,求點
到直線
的距離.
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【題目】某中學藝術節期間,學校向學生征集書畫作品,楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班(用A,B,C,D表示),對征集到的作品的數量進行了分析統計,制作了兩幅不完整的統計圖.
請根據以上信息,回答下列問題:
(1)楊老師采用的調查方式是 (填“普查”或“抽樣調查”);
(2)請你將條形統計圖補充完整,并估計全校共征集多少件作品?
(3)如果全校征集的作品中有5件獲得一等獎,其中有3名作者是男生,2名作者是女生,現要在獲得一等獎的作者中選取兩人參加表彰座談會,請你用列表或樹狀圖的方法,求恰好選取的兩名學生性別相同的概率.
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【題目】在星期一的第八節課,我校體育老師隨機抽取了九年級的總分學生進行體育中考的模擬測試,并對成績進行統計分析,繪制了頻數分布表和統計圖,按得分劃分成A、B、C、D、E、F六個等級,并繪制成如下兩幅不完整的統計圖表.
等級 | 得分x(分) | 頻數(人) |
A | 95<x≤100 | 4 |
B | 90<x≤95 | m |
C | 85<x≤90 | n |
D | 80<x≤85 | 24 |
E | 75<x≤80 | 8 |
F | 70<x≤75 | 4 |
請你根據圖表中的信息完成下列問題:
1)本次抽樣調查的樣本容量是 .其中m= ,n= .
2)扇形統計圖中,求E等級對應扇形的圓心角α的度數;
3)我校九年級共有700名學生,估計體育測試成績在A、B兩個等級的人數共有多少人?
4)我校決定從本次抽取的A等級學生(記為甲、乙、丙、丁)中,隨機選擇2名成為學校代表參加全市體能競賽,請你用列表法或畫樹狀圖的方法,求恰好抽到甲和乙的概率.
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【題目】(本題滿分8分) 青少年沉迷于手機游戲,嚴重危害他們的身心健康,此問題已引起社會各界的高度關注,有關部門在全國范圍內對12﹣35歲的“王者榮耀”玩家進行了簡單的隨機抽樣調查,繪制出以下兩幅統計圖.
請根據圖中的信息,回答下列問題:
(1)這次抽樣調查中共調查了 人;
(2)扇形統計圖中18﹣23歲部分的圓心角的度數是_________;
(3)據報道,目前我國12﹣35歲“王者榮耀”玩家的人數約為2000萬,請估計其中12﹣23歲的人數.
(4)根據對統計圖表的分析,請你為沉迷游戲的同學提一個合理化建議.
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【題目】廣闊無垠的太空中有無數顆恒星,其中離太陽系最近的一顆恒星稱為“比鄰星”,它距離太陽系約4.2光年.光年是天文學中一種計量天體時空距離的長度單位,1光年約為9500000000000千米.則“比鄰星”距離太陽系約為( )
A. 千米B.
千米C.
千米D.
千米
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【題目】某工廠加工一種商品,每天加工件數不超過100件時,每件成本80元,每天加工超過100件時,每多加工5件,成本下降2元,但每件成本不得低于70元.設工廠每天加工商品x(件),每件商品成本為y(元),
(1)求出每件成本y(元)與每天加工數量x(件)之間的函數關系式,并注明自變量的取值范圍;
(2)若每件商品的利潤定為成本的20%,求每天加工多少件商品時利潤最大,最大利潤是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=-x+1與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)相交于點A(1,0)和點D(-4,5),并與y軸交于點C,拋物線的對稱軸為直線x=-1,且拋物線與x軸交于另一點B.
(1)求該拋物線的函數表達式;
(2)若點E是直線下方拋物線上的一個動點,求出△ACE面積的最大值;
(3)如圖2,若點M是直線x=-1的一點,點N在拋物線上,以點A,D,M,N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形?若能,請直接寫出點M的坐標;若不能,請說明理由.
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