Question

13．已知C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE．且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，△ACD繞點C旋轉，直線AE與BD交于點F．
（1）如圖1，若∠ACD=60°．求證：AE=BD，∠AFB=120°；
（2）如圖2，若∠ACD=α，求證：∠AFB=180°-α；
（3）如圖3，試探究∠AFB與α的數量關系，并予以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，首先證明△BCD≌△ECA，根據全等三角形的性質得到AE=BD，∠EAC=∠BDC，再根據∠AFB是△ADF的外角求出其度數；
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的內角和定理得∠CAE=∠CDB，從而得出∠DFA=∠ACD，得到結論∠AFB=180°-α．
（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通過證明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形內角和定理得到結論∠AFB=180°-α．

解答 解：（1）∵△ACD是等邊三角形，△ECB是等邊三角形，
∴AC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB；
∴AE=BD，∠EAC=∠BDC，
∵∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°；

（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α；

（3）∠AFB=180°-α；
證明：∵∠ACD=∠BCE=α，則∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠CBD=∠CEA，
由三角形內角和知∠EFB=∠ECB=α．
∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．

點評 本題考查了全等三角形的判定及其性質、三角形內角和定理等知識，本題還綜合了旋轉的知識點，是一道綜合性比較強的題，要熟練掌握等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理．