Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、C兩點，點A在點C的右邊，與y軸交于點B，點B的坐標為（0，﹣3），且OB=OC，點D為該二次函數圖象的頂點．

（1）求這個二次函數的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖，若點P為該二次函數的對稱軸上的一點，連接PC、PO，使得∠CPO=90°，請求出所有符合題意的點P的坐標；

（3）在對稱軸上是否存在一點P，使得∠OPC為鈍角，若存在，請直接寫出點P的縱坐標為yp的取值范圍，若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3，D（﹣1，﹣4）；（2）P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）當﹣＜yP＜且yP≠0時，∠OPC是鈍角．

【解析】

（1）先求出點C坐標，最后用待定系數法即可得出結論；

（2）先利用同角的余角相等，判斷出∠COP=∠CPQ，進而求出PQ，即可得出結論；

（3）借助（2）的結論和圖形，即可得出結論．

（1）∵B（0，﹣3），∴OB=3．

∵OB=OC，∴OC=3，∴C（0，﹣3），∴，∴，∴二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；

（2）如圖，過點P作PQ⊥x軸于點Q，設P（﹣1，p）．

∵∠COP+∠OPQ=90°，∠CPQ+∠OPQ=90°，∴∠COP=∠CPQ，∴tan∠COP=tan∠CPQ．在Rt△QOP中，tan∠COP=．在Rt△CPQ中，tan∠CPQ=，∴，∴PQ2=CQ×OQ=2（此處可以用射影定理，也可以判斷出△CPQ∽△POQ）．

∵PQ＞0，∴PQ=，∴p=或p=﹣，∴P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

（3）存在這樣的點P，理由：如圖，由（2）知，yP=時，∠OPC=90°．

∵yP=0時，∠OPC是平角，∴當﹣＜yP＜且yP≠0時，∠OPC是鈍角．