【題目】如圖,在一面靠墻(墻的最大可用長度為8 m)的空地上用長為24 m的籬笆圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃.設花圃的寬AB為x m,面積為S m2.
(1)求S關于x的函數關系式及自變量的取值范圍;
(2)求所圍成花圃的最大面積.
【答案】(1)S=4x2+24x,自變量的取值范圍為:4≤x≤6.(2)32m2.
【解析】
(1)根據AB為xm,BC就為(24-4x)m,利用長方形的面積公式,可求出關系式.
(2)由(1)可知S和x為二次函數關系,根據二次函數的性質即可求圍成的長方形花圃的最大面積.
(1)∵花圃的寬AB為x m,
∴花圃的長BC為24-4x m,
∴S=(24-4x)·x=4x2+24x,
∵,
解得:4≤x≤6,
∴S關于x的函數關系式為:S=4x2+24x,自變量的取值范圍為:4≤x≤6.
(2)解:由(1)知S=4x2+24x(4≤x≤6),
∴S=4(x-3)x2+36,
由函數性質可知:當x>3時,y隨x的增大而減少,
∴當x=4時,Smax=32(m2).
答:所圍成花圃的最大面積為32m2.
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【題目】如圖所示,已知一次函數的圖象與
軸,
軸分別交于點
、
.以
為邊在第一象限內作等腰
,且
,
.過
作
軸于
.
的垂直平分線
交
與點
,交
軸于點
.
(1)求點的坐標;
(2)在直線上有點
,且點
與點
位于直線
的同側,使得
,求點
的坐標.
(3)在(2)的條件下,連接,判斷
的形狀,并給予證明.
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【題目】小華同學對圖形旋轉前后的線段之間、角之間的關系進行了拓展探究.
(一)猜測探究
在△ABC中,AB=AC,M是平面內任意一點,將線段AM繞點A按順時針方向旋轉與∠BAC相等的角度,得到線段AN,連接NB.
(1)如圖1,若M是線段BC上的任意一點,請直接寫出∠NAB與∠MAC的數量關系是_______,NB與MC的數量關系是_______;
(2)如圖2,點E是AB延長線上點,若M是∠CBE內部射線BD上任意一點,連接MC,(1)中結論是否仍然成立?若成立,請給予證明,若不成立,請說明理由。
(二)拓展應用
如圖3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=90°,∠C1=30°,P是B1C1上的任意點,連接A1P,將A1P繞點A1按順時針方向旅轉60°,得到線段A1Q,連接B1Q.求線段B1Q長度的最小值.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AM是BC邊的中線,CN⊥AM于N點,連接BN,求證:
(1)△MCN∽△MAC;
(2)∠NBM=∠BAM.
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【題目】如圖,己知A(0,8),B(6,0),點M、N分別是線段AB、AO上的動點,點M從點B出發,以每秒2個單位的速度向點A運動,點N從點A出發,以每秒1個單位的速度向點O運動,點M、N中有一個點停止時,另一個點也停止。設運動時間為t秒。
(1)當t為何值時,M為AB的中點;
(2)當t為何值時,△AMN為直角三角形;
(3)當t為何值時,△AMN是等腰三角形?并求此時點M的坐標.
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【題目】已知三角形紙片ABC,其中∠C=90°,AB=10,BC=6,點E,F分別是AC,AB上的點,連接EF.
(1)如圖1,若將紙片ABC沿EF折疊,折疊后點A剛好落在AB邊上點D處,且S△ADE=S四邊形BCED,求ED的長;
(2)如圖2,若將紙片ABC沿EF折疊,折疊后點A剛好落在BC邊上點M處,且EM∥AB.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并說明理由;
②求折痕EF的長.
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【題目】如圖,某中學有一塊四邊形的空地ABCD,學校計劃在空地上種植草皮,經測量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,問學校需要投入多少資金買草皮?
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【題目】A,B兩地相距20km.甲、乙兩人都由A地去B地,甲騎自行車,平均速度為10km/h;乙乘汽車,平均速度為40km/h,且比甲晚1.5h出發.設甲的騎行時間為x(h)(0≤x≤2)
(1)根據題意,填寫下表:
時間x(h) 與A地的距離 | 0.5 | 1.8 | _____ |
甲與A地的距離(km) | 5 |
| 20 |
乙與A地的距離(km) | 0 | 12 |
|
(2)設甲,乙兩人與A地的距離為y1(km)和y2(km),寫出y1,y2關于x的函數解析式;
(3)設甲,乙兩人之間的距離為y,當y=12時,求x的值.
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