Question

【題目】如圖所示，已知一次函數的圖象與軸，軸分別交于點、．以為邊在第一象限內作等腰，且，．過作軸于．的垂直平分線交與點，交軸于點．

（1）求點的坐標；

（2）在直線上有點，且點與點位于直線的同側，使得，求點的坐標．

（3）在（2）的條件下，連接，判斷的形狀，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，證明見詳解.

【解析】

（1）證，，.

（2）由可知作的一半的面積與相等，可作一條過AC的中點的平行于AB的直線將會交于M點，證， ，.

（3）E、G分別為的中點，知，，，為矩形，,，，可判斷，即可得的形狀.

（1）∵的圖象與軸、軸分別交于點、,

∴可得，

∵，

∴，

∵，

∴，

在與中，

，

∴；

∴，；

∴；

∴

（2）如下圖作一條過AC的中點H點的平行于AB的直線將會交于一點，由A、C點可得H點坐標，

∵，

∴，

∴與的高相等，即過H點的平行于AB的直線將會交于M點

∵，

∴

∵，

∴，

∴，

如下圖過H點作的垂線交于I點，，得，，

在與中，

，

∴；

∴，

∴；

∴

（3）∵E、G分別為的中點，

∴，

∵，

∴為矩形；

∴，,

∵，，，

∴,，得，

∴為等腰直角三角形；