Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，是的中點，將繞點旋轉，當（即）與交于一點，（）同時與交于一點時，點，和點構成，在此過程中，周長的最小值是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AM，過點D作DN⊥CM于N，AQ⊥BM于Q，首先易證四邊形AQND是平行四邊形，四邊形ABCD是等腰梯形，然后根據含30度直角三角形的性質可得CN=2，BQ=2，求出CM=CD，證明△CMD、△ABM、△AMD是等邊三角形，然后可得∠BME＝∠AMF，利用ASA證明△BME≌△AMF，求出BE=AF，即可得到AE+AF=AE+BE=AB=4，故當ME最短時，的周長最小，此時ME⊥AB，根據等邊三角形的性質和勾股定理求出ME即可.

解：如圖，連接AM，過點D作DN⊥CM于N，AQ⊥BM于Q，

∴AQ∥DN，

∵AD∥BC，，

∴四邊形AQND是平行四邊形，四邊形ABCD是等腰梯形，

∴QN=AD=4，，

∴CN=，BQ=，

∴BC=BQ+QN+CN=2+4+2=8，即BC=2CD，

∵是的中點，

∴CM=CD，

∴△CMD是等邊三角形，

同理可得△ABM是等邊三角形，

∴△AMD是等邊三角形，

∴∠BMA＝∠DMC＝∠EMF＝60°，

∴∠BME＝∠AMF，

在△BME和△AMF中，，

∴△BME≌△AMF（ASA），

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=4，

∴當ME最短時，的周長最小，

即ME⊥AB時，的周長最小，

∵△ABM是等邊三角形，BM=AM=4，

∴ME⊥AB時，BE=2，

∴，

∴△AEF的周長最小值為，

故答案為：.