Question

【題目】在平面直角坐標系中，是坐標原點，直線分別交軸，軸于、兩點.

(1)求直線的解析式；

(2)點為直線上一動點，以為頂點的拋物線與直線的另一交點為 (如圖1)，連、，在點的運動過程中的面積是否變化，若變化，求出的范圍；若不變，求出的值；

(3)平移(2)中的拋物線，使頂點為，拋物線與軸的正半軸交于點 (如圖2) ，，為拋物線上兩點，若以為直徑的圓經過點，求直線經過的定點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)；(2)不變，；(3).

【解析】

（1）利用待定系數法即可解答.

（2）設過線段上的點作軸的垂線交軸于點，過點作于點，先證明，再利用相似三角形的性質和三角形的面積公式即可解答.

（3）過點作軸于，過點作軸于，得到，設、，再利用相似三角形的性質得到，，又，，然后設直線的解析式為，聯立即可解答.

解：(1)∵直線分別交軸，軸于、兩點.

∴把、兩點代入直線可得：

解得：

∴直線解析式為：

(2)由題意設過線段上的點作軸的垂線交軸于點，

以為頂點的拋物線解析式是，由

解得，.

過點作于點，則

，，

邊上的高

，

為定值.

(3)由題意得：拋物線解析式為，可解得.

設、，

，過點作軸于，過點作軸于，

，，

又，

代入上式簡化得，即

設直線的解析式為

聯立得：，

，

，，，

即當時，

直線必過點.