Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在一象限，點P（t，0）是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，連接OD，PD，得△OPD。

（1）當t＝時，求DP的長

（2）在點P運動過程中，依照條件所形成的△OPD面積為S

①當t＞0時，求S與t之間的函數關系式

②當t≤0時，要使s＝，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）DP=；（2）①；②.

【解析】

（1）先判斷出△ADP是等邊三角形，進而得出DP=AP，即可得出結論；
（2）①先求出GH= 2，進而求出DG，再得出DH，即可得出結論；
②分兩種情況，利用三角形的面積建立方程求解即可得出結論．

解：（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∵P（t，0），
∴OP=t，
∵△ABD是由△AOP旋轉得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
∴DP=AP，
∵ ，
∴，
∴；

（2）①當t＞0時，如圖1，BD=OP=t，

過點B，D分別作x軸的垂線，垂足于F，H，過點B作x軸的平行線，分別交y軸于點E，交DH于點G，
∵△OAB為等邊三角形，BE⊥y軸，
∴∠ABP=30°，AP=OP=2，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBG=60°，
∴DG=BDsin60°= ，
∵GH=OE=2，
∴ ，
∴ ；

②當t≤0時，分兩種情況：
∵點D在x軸上時，如圖2

在Rt△ABD中，，
(1)當 時，如圖3，BD=OP=-t，，

∴，
∴，
∴或，
∴ 或，
（2）當 時，如圖4，

BD=OP=-t，，
∴，
∴

∴或（舍）

∴ ．