Question

【題目】已知點,橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點.

（I）求的方程；

（II）設過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程

Answer 1

【答案】（I）（II）或

【解析】

試題分析：（I）求橢圓標準方程，一般方法為待定系數法，即根據條件列出關于的兩個獨立條件及，結合，解方程組得，（II）對于三角形面積問題，一般利用點到直線距離公式求三角形的高，利用弦長公式求三角形底邊邊長.先設直線方程，注意分類討論斜率不存在情形，根據點到直線的距離公式得高，將直線方程與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理及弦長公式得：，，這樣可得的面積，最后根據分式函數求最值方法求最值：一般方法為整體換元，即設，則，，利用基本不等式求最值，確定斜率，即直線方程

試題解析：（I）設，由條件知，得，又，所以，，故的方程為

（II）當軸時不合題意，故可設，，

將代入中得，當時,即,

由韋達定理得

從而

又點到直線的距離為

所以的面積

法一：設，則，，因為,當且僅當，即時等號成立，且滿足.所以當的面積最大時，的方程為或

法二：令，則

當時， 即 ， ，時等號成立，且滿足.

所以的面積最大時，的方程為或