Question

【題目】已知圓M：（x）2+y2＝r2（r＞0）．若橢圓C：1（a＞b＞0）的右頂點為圓M的圓心，離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若存在直線l：y＝kx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點，點G在線段AB上，且|AG|＝|BH|，求圓M半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由題判斷可知，，再結合離心率和橢圓的關系式即可求解；

（2）需要將題意進行轉化，要求其實也就是求，聯立直線與橢圓方程，求出弦長，再由圓心到直線距離公式求出弦心距，結合幾何關系表示出，令可表示出，由不等式的性質和函數關系即可求解的取值范圍；

（1）設橢圓的焦距為2c，

由橢圓右頂點為圓M的圓心（，0），得a，

又，所以c＝1，b＝1．

所以橢圓C的方程為：．

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），

由直線l與橢圓C交于兩點A，B，則，

所以（1+2k2）x2﹣2＝0，則x1+x2＝0，，

所以，

點M（，0）到直線l的距離d，

則|GH|＝2，

顯然，若點H也在線段AB上，則由對稱性可知，若直線y＝kx是y軸，矛盾，

所以要使|AG|＝|BH|，只要|AB|＝|GH|，

所以4，

2，

當k＝0時，r，

當k≠0時，2（1）＝3，

又顯然2，所以，

綜上，．