Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．
（Ⅰ）設，試求函數的表達式；
（Ⅱ）是否存在，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區間內總存在個實數，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）函數的表達式為．
（Ⅱ）存在，使得點、與三點共線，且 ．
（Ⅲ）的最大值為．

試題分析：（Ⅰ）設、兩點的橫坐標分別為、，
 ，
∴切線的方程為：，
又切線過點，
有，即， （1）
同理，由切線也過點，得．（2）
由（1）、（2），可得是方程的兩根，
 （ * ）

，
把（ * ）式代入,得,
因此，函數的表達式為．
（Ⅱ）當點、與共線時，，
＝，即＝，
化簡，得，
，．   （3）
把（*）式代入（3），解得．
存在，使得點、與三點共線，且 ．
（Ⅲ）解法：易知在區間上為增函數，
，
則．
依題意，不等式對一切的正整數恒成立，
，
即對一切的正整數恒成立．
，
，
．
由于為正整數，．
又當時，存在，，對所有的滿足條件．
因此，的最大值為．
解法：依題意，當區間的長度最小時，
得到的最大值，即是所求值．
，長度最小的區間為
當時，與解法相同分析，得，
解得．           后面解題步驟與解法相同（略）．
點評：難題，切線的斜率等于函數在切點的導函數值。不等式恒成立問題，常常轉化成求函數的最值問題。（III）小題，通過構造函數，研究函數的單調性、極值（最值），進一步確定得到參數的范圍。