Question

定義在上的函數,如果滿足:對任意,存在常數,

都有成立,則稱是上的有界函數,其中稱為函數的上界.

已知函數;   

 (1)若函數在上是以3為上界的有界函數,求實數的取值范圍;

(2)已知,函數在上的上界是,求的取值范圍.

Answer 1

解:(I)由題意知,在上恒成立. ,      ∴在上恒成立 ∴      ………………2分

設,,,

由得 t≥1, 設,  

所以在上遞減,在上遞增, (單調性不證,不扣分))

在上的最大值為,  在上的最小值為  

所以實數的取值范圍為   …………………………………………………6分

(Ⅱ), ∵   m>0  ,      ∴  在上遞減,  

∴       即

∵   ,     ∴  在上遞增,  

∴       即     …………………………8分

①當時,, 此時     

②當,即,, 此時  ,                                      

③當時,,此時     ……………………11分

綜上所述:當時,的取值范圍是;

當時,的取值范圍是    ……………………………12分