已知函數,
,
.
(1)若,試判斷并證明函數
的單調性;
(2)當時,求函數
的最大值的表達式
.
(1)當時,
在
上是增函數,證明過程詳見試題解析; (2)函數
的最大值的表達式
.
解析試題分析:(1)當時,
,用單調性的定義即可證明函數式單調遞增的;
(2)當時,
; 分
和
兩種情況分別求出各段的最大值即可.
試題解析:(1)判斷:若,函數
在
上是增函數. 1分
證明:當時,
,
在區間上任意
,設
,
所以,即
在
上是增函數. 5分
(注:用導數法證明或其它方法說明也同樣給5分)
(2)因為,所以
7分
①當時,
在
上是增函數,在
上也是增函數,
所以當時,
取得最大值為
; 9分
②當時,
在
上是增函數,在
上是減函數,
在上是增函數, 11分
而,
當時,
,當
時,函數
取最大值為
;
當時,
,當
時,函數
取最大值為
;13分
綜上得, 15分
考點:函數的性質、函數最值的求法、分類討論思想.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.
(1)求a,b的值.
(2)用定義證明f(x)在(-∞,+∞)上為減函數.
(3)若對于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=ex-e-x(x∈R且e為自然對數的底數).
(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性;
(2)是否存在實數t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知,函數
.
(1)當時,畫出函數
的大致圖像;
(2)當時,根據圖像寫出函數
的單調減區間,并用定義證明你的結論;
(3)試討論關于x的方程解的個數.
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