Question

【題目】已知函數 ，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函數h（x）=f（x）+g（x）的極值點，求實數a的值；
（2）若對任意的x1 ， x2∈[1，e]（e為自然對數的底數）都有f（x1）≥g（x2）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，g（x）=x+lnx，

∴ ，其定義域為（0，+∞），

∴ ．

∵x=1是函數h（x）的極值點，

∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．

∵a＞0，∴

經檢驗當 時，x=1是函數h（x）的極值點，

∴

（2）解：對任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等價于

對任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．

當x∈[1，e]時， ．

∴函數g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數．

∴[g（x）]max=g（e）=e+1．

∵ ，且x∈[1，e]，a＞0．

①當0＜a＜1且x∈[1，e]時， ，

∴函數 在[1，e]上是增函數，

∴ ．

由1+a2≥e+1，得a≥ ，

又0＜a＜1，∴a不合題意；

②當1≤a≤e時，

若1≤x＜a，則 ，

若a＜x≤e，則 ．

∴函數 在[1，a）上是減函數，在（a，e]上是增函數．

∴[f（x）]min=f（a）=2a．

由2a≥e+1，得a≥ ，

又1≤a≤e，∴ ≤a≤e；

③當a＞e且x∈[1，e]時， ，

∴函數 在[1，e]上是減函數．

∴ ．

由 ≥e+1，得a≥ ，

又a＞e，∴a＞e；

綜上所述：a的取值范圍為

【解析】（1）通過 、x=1是函數h（x）的極值點及a＞0，可得 ，再檢驗即可； （2）通過分析已知條件等價于對任意的x1 ， x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max ． 結合當x∈[1，e]時及 可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用 ，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三種情況討論即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．