Question

【題目】已知函數，函數是區間上的減函數.

（1）求的最大值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）討論關于的方程的根的個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當，即時，方程無解；當，即時，方程有一個解；當，即時，方程有兩個解.

【解析】試題分析：（1）由題意由于，所以函數，又因為該函數在區間上的減函數，所以可以得到的范圍；（2）由于在上恒成立，解出即可；（3）利用方程與函數的關系可以構造成兩函數圖形的交點個數加以分析求解.

試題解析：（1）∵，∴，

又∵在上單調遞減，∴在恒成立，

∴，∴故的最大值為-1；

（2）∵，

∴只需在上恒成立，

既，

令，

則需則，

又∵恒成立，∴；

（3）由于，令，

∵，∴當時， ，即單調遞增；

當時， ，即單調遞減，∴，

又∵，

∴當，即時，方程無解；

當，即時，方程有一個解；

當，即時，方程有兩個解.