Question

【題目】如圖所示，已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點D、E，DE與AC相交于點P． （Ⅰ）求證：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：連接AB， ∵AC是⊙O1的切線，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（Ⅱ）∵PA是⊙O1的切線，PD是⊙O1的割線，
∴PA2=PBPD，
∴62=PB（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PAPC=BPPE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線，
∴AD2=DBDE=9×16，
∴AD=12
【解析】（I）連接AB，根據弦切角等于所夾弧所對的圓周角得到∠BAC=∠D，又根據同弧所對的圓周角相等得到∠BAC=∠E，等量代換得到∠D=∠E，根據內錯角相等得到兩直線平行即可；（II）根據切割線定理得到PA2=PBPD，求出PB的長，然后再根據相交弦定理得PAPC=BPPE，求出PE，再根據切割線定理得AD2=DBDE=DB（PB+PE），代入求出即可．