Question

【題目】已知動直線與與橢圓交于、兩不同點，且的面積，其中為坐標原點

（1）若動直線垂直于軸.求直線的方程；

（2）證明：和均為定值；

（3）橢圓上是否存在點，，，使得三角形面積若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，詳見解析

【解析】

（1）由題意設直線，表示出點，后，利用即可求得m，即可得解；

（2）分直線斜率是否存在分類討論；當直線斜率存在時，設直線，聯立方程組可得，，由弦長公式及點到直線的距離公式可得，化簡后可得，即可得解；

（3）假設存在點，，滿足題目要求，由（2）可得，，進而可得點、、只能從四個點中選取三個不同的點，由這三點的連線中必有一條經過原點，與題設矛盾，即可得解.

（1）當直線垂直于軸時，設直線，

則點，，

所以，解得，所以，

故所求直線方程為；

（2）當直線斜率不存在時，由（1）知，，；

當直線斜率存在時，設直線，

則，消去得，

所以，，，

所以

，

點到直線的距離，

所以，

整理可得，滿足，

所以，

；

綜上，為定值1，,為定值2；

（3）假設存在點，，滿足題目要求，

由（2）得，，，，，

，

解得，，

所以、、只能從中選取，、、只能從中選取，

故點、、只能從四個點中選取三個不同的點，

而這三點的連線中必有一條經過原點，與矛盾，

所以橢圓上不存在點、、，使得三角形面積.