【題目】五面體
中，
是等腰梯形，
，
，
，
，平面
平面.
（1）證明：
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
(1) 連接
，取
中點為
，則
,可得
為平行四邊形，
為等邊三角形，
，
，由題意平面
平面
，且交線為
，
平面
，
又
，
，可得結論；
（2）以
為原點，
分別為軸
，
軸正方向，在平面內，過點且與垂直的直線為
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知
. 可得
，
，
.平面的一個法向量為
，設平面
的一個法向量為
，求
的值后用
公式，可得答案.
解：（1）連接，取中點為，則，
為平行四邊形，
，
.
為等邊三角形，，
.
,
平面平面，且交線為，
平面，
.
又
，
平面.
（2）以為原點，分別為軸，軸正方向，在平面內，過點且與垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知.
則，，.
由（1）知，平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量為，
則
取
，得
，
，
結合圖形可知二面角
的余弦值為
.
云南師大附小一線名師提優作業系列答案
沖刺100分單元優化練考卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一片森林原來面積為
，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的
，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的
.
（1）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
（2）今后最多還能砍伐多少年？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】農歷五月初五是端午節，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為____；若該六面體內有一球，則該球體積的最大值為____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一工廠計劃生產某種當地政府控制產量的特殊產品，月固定成本為1萬元，設此工廠一個月內生產該特殊產品
萬件并全部銷售完.根據當地政府要求產量滿足
，每生產件需要再投入
萬元，每1萬件的銷售收入為
（萬元），且每生產1萬件產品政府給予補助
（萬元）.（注：月利潤=月銷售收入+月政府補助－月總成本）.
（1）寫出月利潤
（萬元）關于月產量（萬件）的函數解析式；
（2）求該工廠在生產這種特殊產品中所獲得的月利潤最大值（萬元）及此時的月生產量（萬件）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校共有
名學生，其中男生
人，為了解該校學生在學校的月消費情況，采取分層抽樣隨機抽取了
名學生進行調查，月消費金額分布在
之間．根據調查的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖如圖所示：
將月消費金額不低于
元的學生稱為“高消費群”．
（1）求
的值，并估計該校學生月消費金額的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）現采用分層抽樣的方式從月消費金額落在
，
內的兩組學生中抽取
人，再從這人中隨機抽取
人，記被抽取的名學生中屬于“高消費群”的學生人數為隨機變量
，求的分布列及數學期望；
（3）若樣本中屬于“高消費群”的女生有人，完成下列
列聯表，并判斷是否有
的把握認為該校學生屬于“高消費群”與“性別”有關？
（參考公式：
，其中
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，
底面ABC，
，E，F分別為棱PB，PC的中點，過E，F的平面分別與棱AB，AC相交于點D，G，給出以下四個結論：
①
；②
；③
；④
.
則以上正確結論的個數是
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
：
的離心率為
，過左焦點
且斜率為
的直線交橢圓于
兩點，線段
的中點為
，直線
：
交橢圓于
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：點在直線上；
（3）是否存在實數，使得
？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
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