Question

【題目】已知曲線的一條切線過點.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若，.

①討論函數的單調性；

②當時，求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)①見解析.②見解析.

【解析】

(1) 求出，設切點為，則切線方程為，由切線過點，可得，利用導數可得的最大值，從而可得結果；（2）①求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；②要證明，只需證明，而，所以成立.

（1），

設切點為，則切線方程為，

∵切線過點，∴，

∴，

∴，

設，則，令，則，

∴，∴.

（2）當時，，∵，

∴，

.

①（i）當時，在區間上是減函數，在區間上是增函數；

（ii）當時，在區間上是減函數，在區間，上是增函數；

（iii）當時，在區間上是增函數；

（iv）當時，在區間上是減函數，在區間，上是增函數.

②證明：當時，，要證明，只需證明，

而，所以成立.