Question

【題目】如圖，在菱形中，，是的中點，平面，且在矩形中，，.

（1）求證：；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）60°

【解析】

(1)連接，再證明平面，利用線面垂直的性質，即可證得；

(2)設與交于，連結，由已知可得四邊形是平行四邊形，則可證是的中位線，由線面平行的判定定理，即可證得；

(3)由于四邊形是菱形，是的中點，可得，故可以為原點建立空間直角坐標系，由幾何關系，可寫出相應點的坐標，用向量法即可求解.

解：（1）連結，則.

由已知平面，

因為，

所以平面.

又因為平面，

所以.

（2）設與交于，連結，

由已知可得四邊形是平行四邊形，

所以是的中點.

因為是的中點，

所以.

又平面，

平面，

所以平面.

（3）由于四邊形是菱形，是的中點，可得.

所以由幾何關系可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，.

所以.

設平面的法向量為.

則

所以

令，則

所以.

又因平面的法向量，

所以.

所以由上及圖可知二面角的大小是60°.