Question

【題目】如圖， 在四棱錐中， 底面， ，， ，，點為棱的中點.

（1）證明：：

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若為棱上一點， 滿足， 求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2） （3）

【解析】

（1）根據題意以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并表示出，由空間向量數量積運算即可證明.

（2）先求得平面的法向量，即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；

（3）由點在棱上，設，再由，結合，由空間向量垂直的坐標關系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空間向量數量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值，再根據二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.

（1）證明：∵底面，，

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵，，點為棱 的中點．

∴，，，，

，

，

.

（2）,

設平面的法向量為.

則，代入可得，

令解得，即，

設直線與平面所成角為，由直線與平面夾角可知

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3），

由點在棱上，設，

故，

由，得，

解得，

即，

設平面的法向量為，

由，得，

令，則

取平面的法向量，

則二面角的平面角滿足，

由圖可知，二面角為銳二面角，

故二面角的余弦值為.