Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）對任意的實數，恒有成立，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當實數取最小值時，討論函數在時的零點個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由可知，區間是不等式解集的子集，由此可得出實數的不等式，解出即可；

（Ⅱ）由題意可知，，則，令，可得出，令，對實數的取值范圍進行分類討論，先討論方程的根的個數及根的范圍，進而得出方程的根個數，由此可得出結論.

（Ⅰ），，

對任意的實數，恒有成立，

則區間是不等式解集的子集，，解得，

因此，實數的取值范圍是；

（Ⅱ），由題意可知，，，

令，得，令，

則，作出函數和函數在時的圖象如下圖所示：

作出函數在時的圖象如下圖所示：

①當或時，即當或時，方程無實根，

此時，函數無零點；

②當時，即當時，方程的根為，

而方程在區間上有兩個實根，此時，函數有兩個零點；

③當時，即當時，方程有兩根、，

且，，

方程在區間上有兩個實根，方程在區間上有兩個實根，此時，函數有四個零點；

④當時，即當時，方程有兩根分別為、，

方程在區間上只有一個實根，方程在區間上有兩個實根，此時，函數有三個零點；

⑤當時，即當時，方程只有一個實根，且，

方程在區間上有兩個實根，此時，函數有兩個零點；

⑥當時，即當時，方程只有一個實根，

方程在區間上只有一個實根，此時，函數只有一個零點.

綜上所述，當或時，函數無零點；

當時，函數只有一個零點；

當或時，函數有兩個零點；

當時，函數有三個零點；

當時，函數有四個零點.