Question

【題目】已知函數f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數),設，

(1)若f(-1)=0,且對任意實數x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表達式;

(2)在(1)的條件下,當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調函數,求實數k的取值范圍;

(3)設mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)滿足f(-x)=f(x),試比較F(m)+F(n)的值與0的大小.

Answer 1

【答案】(1).(2).(3) F(m)+F(n)>0.

【解析】

（1）由可得；然后再根據f(x)≥0恒成立并結合判別式可得a=1，進而可得函數的解析式．（2）由題意可得，根據函數有單調性可得對稱軸與所給區間的關系，從而可得k的取值范圍．（3）結合題意可得函數為奇函數且在R上為增函數，再根據條件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0．

(1)∵，

∴b=a+1.

∵f(x)≥0對任意實數x恒成立，

∴，

解得a=1．

∴f(x)=x2+2x+1.

故．

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，

∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．

由g(x)在區間[-2,2]上是單調函數可得或，

解得k≤-2或k≥6．

故k的取值范圍為．

(3)∵f(-x)=f(x)，

∴f(x)為偶函數，

∴b=0．

又a>0,

∴f(x)在區間[0,+∞)為增函數．

對于F(x),當x>0時，；

當x<0時,，

∴,且F(x)在區間[0,+∞)上為增函數，

∴在上為增函數．

由mn<0,知m,n異號,不妨設m>0,n<0,

則有m>-n>0，

∴，

∴．