Question

【題目】設命題p：函數f（x）=lg（ax2﹣x+ a）定義域為R；命題q：不等式3x﹣9x＜a對任意x∈R恒成立．
（1）如果p是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）如果命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意ax2﹣x+ a＞0 對任意x∈R恒成立，

當a=0時，不符題意，舍去；

當a≠0時，則 a＞2，

所以實數a的取值范圍是a＞2

（2）解：設t=3x（t＞0），g（t）=﹣t2+t=﹣ + ，

g（t）max= ，

當q為真命題時，有a＞ ，

∵命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題，

∴p與q一個為真，一個為假，

當p真q假，則 ，無解，

當p假q真，則 ＜a≤2，

綜上，實數a的取值范圍是： ＜a≤2

【解析】（1）通過討論a的范圍，得到不等式組，解出即可；（2）分別求出p，q真時的a的范圍，再根據p真q假或p假q真得到不等式組，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合命題的真假的相關知識，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．