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【題目】已知橢圓 C:離心率，短軸長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，橢圓左頂點為A，過原點O的直線（與坐標軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點．試問以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

（1）由題意可得，結合離心率可得，則橢圓方程為.

（2）設，結合直線方程可得，則以MN為直徑的圓的方程為，點P,Q在橢圓上，則，據此計算可得圓恒過定點.

試題解析：

（1）由短軸長為，得，由，得．

∴橢圓的標準方程為．

（2）以為直徑的圓過定點．

證明如下：設，則，且，即，

∵，∴直線方程為：，則

直線方程為：，則，

以為直徑的圓為

即，

其中，，

令，則，解得.∴以為直徑的圓過定點．

練習冊系列答案
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C.

D.

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A.

B.

C.

D.

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