Question

已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。
（1）用和表示；
（2）求對所有都有成立的的最小值；
（3）當時，比較與的大小，并說明理由。

Answer 1

（1）；
（2）a的最小值是；
（3），證明見解析.

（1）由已知得，交點A的坐標為，對則拋物線在點A處的切線方程為
由（1）知f(n)=,則
即知，對于所有的n成立，特別地，取n=2時，得到a≥
當,


>2n³+1
當n=0,1,2時，顯然
故當a=時，對所有自然數都成立
所以滿足條件的a的最小值是。
（3）由（1）知，則，

下面證明： 
首先證明：當0<x<1時，
設函數

當
故g(x)在區間（0,1）上的最小值g(x)_min=g
所以，當0<x<1時，g(x)≥0,即得
由0<a<1知0<a^k<1(),因此，從而


[點評]本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力.主要考查了導數的應用、不等式、數列等基礎知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創新意識能力；且又深層次的考查了函數、轉換與化歸、特殊與一般等數學思維方法。