Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，，，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）求出和的數量關系，根據勾股定理可證，又是正三角形，所以，根據直線與平面垂直的判定定理，可證平面；

（2）建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量所成的余弦值，從而可以求出平面與平面所成二面角的正弦值.

（1）證明：連結，，因為底面為菱形，，

故，又為的中點，故.

在中，，為的中點，所以.

設，則，，

因為，

所以.（也可通過來證明），

又因為，平面，平面，

所以平面；

（2）因為，，

，

所以平面，又平面，所以.

由（1）得平面，又平面，故有，又由，

所以，，所在的直線兩兩互相垂直.

故以為坐標原點，以，，所在直線為軸，軸，軸如圖建系.

設，則，，，.

所以，，，

由（1）知平面，

故可以取與平行的向量作為平面的法向量.

設平面的法向量為，則，

令，所以.

設平面與平面所成二面角為，而

則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.