Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（2）=0，當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0（其中f′（x）為f（x）的導函數），則f（x）＞0的解集為（ ）

A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）

Answer 1

【答案】C

【解析】解：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（﹣x）=﹣f（x）

令g（x）=xf（x），

∴g（﹣x）=g（x）是定義在R上的偶函數，

又∵f（2）=0，

∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，

∴g（2）=g（﹣2）=0

又∵當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0，

即當x＞0時，g′（x）＞0，

即g（x）在（0，+∞）上是增函數，在（﹣∞，0）是減函數，

∴當x＞0時，f（x）＞0，即g（x）＞g（2），解得：x＞2

∴當x＜0時，f（x）＞0，即g（x）＜g（﹣2），解得：﹣2＜x＜0，

∴不等式xf（x）＜0的解集為：（﹣2，0）∪（2，+∞），

故（﹣2，0）∪（2，+∞）

故選：C．