Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）求函數的零點，以及曲線在處的切線方程；

（2）設方程（）有兩個實數根，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）， （2）證明見解析

【解析】

（1）由求得函數零點，由導數的幾何意義可求得切線方程；

（2）根據導函數研究出函數的單調性，只有在時，，因此，考查（1）中切線，先證明（），只要構造函數在上單調遞增，易得證，方程的解為，（不妨設，則），要證不等式變形為證明，即證，由，，構造函數，結合導數知識可證．

（1）由，得，∴函數的零點是.

，，.

曲線在處的切線方程為.

，，

∴曲線在處的切線方程為

（2）.

當時，；當時，.

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

由（1）知，當或時，；當時，.

下面證明：當時，.

當時，

.

易知，在上單調遞增，

而，

∴對恒成立，

∴當時，.

由得.記.

不妨設，則，

∴.

要證，只要證，即證.

又∵，∴只要證，即.

∵，即證.

令.

當時，，為單調遞減函數；

當時，，為單調遞增函數.

∴，∴，

∴