Question

【題目】如圖所示，三棱錐中，面面.

（1）若，求證：面；

（2）若，，，且和互余，求直線和面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）在面中，過點作，交于點，利用面面垂直的性質得到面，利用線面垂直的性質得到，結合，利用線面垂直的判定定理證得結果；

（2）根據題意，建立空間直角坐標系，結合題中條件，設，則，寫出相應的點的坐標，求出面的法向量以及直線的方向向量，利用公式求得結果.

（1）證明：在面中，過點作，交于點，

∵面面，面面，

∴面，∴.

又，∴面.

又面，∴面面.

（2）如圖建立空間直角坐標系，

設，則，

則，，

由可得，

化簡得：，∴，∴.

∴，，，

可得面的法向量為，直線的方向向量為.

設直線和平面所成的角為，

則.

解法二：設，則，

則，∴，

易得，，∴.