Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當存在三個不同的零點時，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先對函數求導，求導后令，由判別式結合二次函數根的分布求解原函數的單調區間；

（2）由（1）求出的函數單調性可使存在三個不同的零點時實數a的取值范圍

解：（1）由，得，

當時，，所以 在上單調遞增

令，則，

當≤0時，即≥，則≤0，即≤0，

所以在上單調遞減；

當，即時，

由，解得

當時，，則 在上單調遞增，

當時，，

當 時，，即 ，則在和上單調遞減；

當時，，即 ，則在上單調遞增；

綜上，當≤0時，在上單調遞增；

當時，在和上單遞減，在上單調遞增；

當≥時，在上單調遞減；

（2）由（1）可當≥時，在上單調遞減，當≤0時，在上單調遞增，不可能有3個零點，

所以時，在和上單遞減，在上單調遞增，

因為，，所以，

，，

令，則，

令，則在 上為增函數，

由，得，所以當時，，

所以 在上單調遞減，

所以，

所以在上單調遞增，

所以，

所以，

由零點存在性定理可知，在區間上有一個根，設為，

又，得，

而，所以是函數的另一個零點，

所以當時，有3個零點，

所以實數a的取值范圍為