Question

【題目】已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點，拋物線的焦點在軸上，頂點在坐標原點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于表格中：

（1）求、的標準方程；

（2）已知定點，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）設橢圓，根據題意可知點在橢圓上，可得出，進一步得知點在橢圓上，可求得的值，可求出橢圓的方程，從而可得出拋物線上的點的坐標，進而可求得拋物線的標準方程；

（2）設點，利用導數可求得切線的方程，設點、，將直線的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式求得，求出點到直線的距離，然后利用三角形的面積公式可得出面積關于的表達式，利用二次函數的基本性質可求得面積的最大值.

（1）設，由題意知點一定在橢圓上，則，得，

所以，橢圓上的點的橫坐標的取值范圍是，

則點也在橢圓上，將該點的坐標代入橢圓方程得，，解得，

所以，橢圓的標準方程為．

設拋物線，依題意知點在拋物線上，代入拋物線的方程，得，

所以，拋物線的標準方程為；

（2）設、，，

由知，故直線的方程為，即，

代入橢圓的方程整理得，

，

由韋達定理得，，

，

設點到直線的距離為，則，

，

當時取到等號，此時滿足．

綜上所述，面積的最大值為．