Question

【題目】進入冬季以來，我國北方地區的霧霾天氣持續出現，極大的影響了人們的健康和出行，我市環保局對該市2015年進行為期一年的空氣質量監測，得到每天的空氣質量指數，從中隨機抽取50個作為樣本進行分析報告，樣本數據分組區間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的空氣質量指數頻率分布直方圖，如圖．

（1）求a的值；
（2）如果空氣質量指數不超過15，就認定空氣質量為“特優等級”，則從今年的監測數據中隨機抽取3天的數值，其中達到“特優等級”的天數為X．求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，

得：（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，

解得a=0.03．

（2）解：利用樣本估計總體，該年度空所質量指數在（5，15]內為“特優等級”，

且指數達到“特優等級”的概率為0.2，

則X的取值為0，1，2，3，且X～B（3， ），

P（X=0）= = ，

P（X=1）= = ，

P（X=2）= = ，

P（X=3）= ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

∴EX=0× +1× +2× +3× =

【解析】（1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，由此能求出a．（2）由已知得X的取值為0，1，2，3，且X～B（3， ），由此能求出X的分布列和EX．
【考點精析】認真審題，首先需要了解頻率分布直方圖(頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息)，還要掌握離散型隨機變量及其分布列(在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列)的相關知識才是答題的關鍵．