Question

【題目】已知數列的各項均為正數，其前n項的積為，記，.

（1）若數列為等比數列，數列為等差數列，求數列的公比.

（2）若，，且

①求數列的通項公式.

②記，那么數列中是否存在兩項，（s，t均為正偶數，且），使得數列，，，成等差數列？若存在，求s，t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）數列的公比為1（2）①②存在；s，t的值為和

【解析】

（1）由得的等式，再由可求得的關系，得出結論；

（2）①已知條件可變形為（），從而可求出，從而可得，注意，求積可得；

②由①知.利用導數研究函數的單調性得數列的單調性：，假設存在s，t滿足題意，若，由單調性出現矛盾，這樣，，分別求．即可得結論．

（1）因為數列為等差數列，

所以.

又因為，，，

所以（*）

因為數列為等比數列，所以，

代入（*）得，即，

所以，

故數列的公比為1.

（2）①當時，由

得，

從而

又因為，，

所以

故，，

所以.

綜上，數列的通項公式為.

②由①知.

記，則，

從而函數在上單調遞增，在上單調遞減.

又因為，

所以.

假設存在s，t滿足題意，若，

則，，所以，不合題意，

所以s只能為2，4，6，且.

（i）當時，由，得，

故.

由數列的單調性可知存在唯一的滿足題意.

（ii）當時，由，得，

故.

同（i）知.

（ⅲ）當時，由，得

故.

又因為，

由數列的單調性知，故，

但不成立，所以與題意不符.

綜上，滿足條件的s，t的值為和.