Question

【題目】如圖所示，橢圓的中心為坐標原點，焦點，在軸上，且在拋物線的準線上，點是橢圓上的一個動點，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過焦點，作兩條平行直線分別交橢圓于，，，四個點.求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（1）拋物線的準線可得到，當點在短軸頂點時面積最大，根據面積即可求出，即可求出，即可寫出橢圓方程。

（2）根據橢圓的對稱性知道四邊形為平行四邊形，即，又，，設出直線與橢圓聯立，即可得到，，代入，即可求出的最大值.

（Ⅰ）設橢圓方程為，

∵焦點在拋物線的準線上，

∴，

∵當點在短軸頂點時面積最大，此時，

∴，，

∴橢圓方程為.

（Ⅱ）易知四邊形為平行四邊形，則，

而

由題意知直線斜率不為0,設直線為：

聯立消 得 ，

由韋達定理有，

又因為，∴

，

設，則，

∴在上是增函數，

所以，當時，取最大值6，此時，即.