Question

【題目】已知，，其中，為自然對數的底數．

若函數的切線l經過點，求l的方程；

Ⅱ若函數在為遞減函數，試判斷函數零點的個數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ見解析

【解析】

Ⅰ設出切點坐標，求出切線斜率，求出切線方程即可；

Ⅱ問題等價于，記，，分別求出的最小值和的最大值，從而證明結論．

解：Ⅰ設l和的切點是，

在該點處的導數，它是切線l的斜率，

經過，也過切點，

的斜率又可寫為，

故，故，解得：，

故直線l的斜率為，

故l的方程是：；

Ⅱ判斷：函數的零點個數是0，

下面證明恒成立，

，故，

若在遞減，則，

因此，要證明對恒成立，

只需證明對恒成立，

考慮等價于，

記，，

先看，，

令，解得：，

令，解得：，

故在遞減，在遞增，

，

再看，.

令，解得：，

令，解得：，

故在遞增，在遞減，

.

，且兩個函數的極值點不在同一個x處，

故對恒成立，

綜上，對恒成立，

故函數函數零點是0個．