Question

（本題滿分12分）
把邊長為的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設容器的高為，容積為.

（Ⅰ）寫出函數的解析式，并求出函數的定義域；
（Ⅱ）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.

Answer 1

（Ⅰ），定義域為。（Ⅱ）容器高為時，容器的容積最大為.

解析試題分析：（Ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為    ----2分.
則   .            ---------4分
函數的定義域為.         --------- 5分
（Ⅱ）實際問題歸結為求函數在區間上的最大值點.
先求的極值點.
在開區間內，-----------6分
令，即令，解得.
因為在區間內，可能是極值點. 當時，；
當時，.            ------------8分
因此是極大值點，且在區間內，是唯一的極值點，
所以是的最大值點，并且最大值   
即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為.----------12分
考點：函數模型的實際應用；利用導數研究函數的極值和最值。
點評：本題主要考查的知識點是函數模型的選擇與應用，其中解答本題的關鍵是根據已知求出棱柱的底面面積和高，進而求出函數的解析式，建立數學模型．求解析式的時候，要記得求函數的定義域。