Question

【題目】已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸的正半軸，且過點，過的直線交拋物線于，兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線是拋物線的準線，求證：以為直徑的圓與直線相切.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）根據題意，設出拋物線方程，根據拋物線經過的點的坐標滿足方程，即可求得；

（2）設出直線方程，聯立拋物線方程，根據弦長公式和直線與圓位置關系的判斷方法，即可求證.

（1）由題可設拋物線方程為，

因為拋物線過點，故可得，解得，

故拋物線方程為.

（2）由拋物線方程可知，點的坐標為，的方程為.

當直線斜率不存在時，直線方程為，

聯立拋物線方程，可得，或，

不妨設.

則以為直徑的圓的圓心為，半徑，

又圓心到直線的距離為，

故此時滿足以為直徑的圓與準線相切.

當直線斜率存在時，容易知，設直線的方程為，

聯立拋物線方程，可得.

設，

則.

則以為直徑的圓的圓心的橫坐標為，

即圓心橫坐標為.

則圓心到直線的距離為；

又弦長

則以為直徑的圓的半徑，

則圓心到直線的距離等于半徑.

故以為直徑的圓與準線相切.

綜上所述：以為直徑的圓與直線相切，即證.