Question

【題目】已知函數，

(1) 判斷的奇偶性并證明；

(2) 令

①判斷在的單調性（不必說明理由）；

②是否存在，使得在區間的值域為？若存在，求出此時的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）①單調遞減，②

【解析】

(1)根據函數奇偶性的定義，即可證出．

(2) ①求出，由復合函數的單調性法則可知，在上單調遞減；②根據在上單調遞減，可以得到，然后轉化得出：和是方程的兩根，再將其轉化為直線與函數的圖象在

上有兩個交點，觀察圖象，可求出的取值范圍．

是奇函數；證明如下：

由解得或,

所以的定義域為，關于原點對稱．

,

故為奇函數．

，①在上單調遞減．

②假設存在，使在的值域為．

由知，在上單調遞減．

則有,．

所以,是方程在上的兩根，

整理得在有2個不等根和．

即 ，令，則，，

即直線與函數的圖象在上有兩個交點，

所以， ．