Question

【題目】恩施州某電影院共有1000個座位，票價不分等次，根據電影院的經營經驗，當每張票價不超過10元時、票可全部售出；當票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出，為了獲得更好的收入，需要給電影院一個合適的票價，基本條件是：①為了方便找零和算賬，票價定為1元的整數倍．②影院放映一場電影的成本是4000元，票房收入必須高于成本，用x（元）表示每張票價，用y（元）表示該電影放映一場的純收入（除去成本后的收入）．

（1）求函數y＝f（x）的解析式；

（2）票價定為多少時，電影放映一場的純收入最大？

Answer 1

【答案】（1）y（x∈Z）；（2）22元．

【解析】

（1）設每張票價為元，通過當時，求出，利用得，當時，求出，得到，寫出函數的解析式．（2）利用分段函數的解析式分別求解函數的最值．

（1）設每張票價為x元

當x≤10時，y＝1000x﹣4000，由1000x﹣4000＞0得：x＞4，又x是整數，∴5≤x≤10，

當x＞10時，y＝[1000﹣30（x﹣10）]x﹣4000＝﹣30x2+1300x﹣4000，

由﹣30x2+1300x﹣4000＞0得：x＜40，∴10＜x≤40，

∴y （x∈Z）；

（2）若x≤10，y＝1000x﹣4000是增函數，∴x＝10時，y有最大值6000，

若x＞10，y＝﹣30x2+1300x﹣4000，對稱軸為x21，

又x是整數，所以當x＝22時，y最大，此時y＝10080，

∴每張票價定為22元時，放映一場的純收入最大．