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【題目】已知圓：，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）四邊形的四個頂點都在曲線上，且對角線、過原點，若，求證：四邊形的面積為定值，并求出此定值．

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，定值為．

【解析】

（1）利用橢圓的定義即可得到點的軌跡的方程；

（2）不妨設點、位于軸的上方，則直線的斜率存在，設的方程為，與橢圓方程聯立，求出四邊形的面積，即可證明結論.

（1）因為在線段的中垂線上，所以．

所以，

所以軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，所以，

故軌跡的方程．

（2）不妨設點、位于軸的上方，則直線的斜率存在，設的方程為

，，．

聯立，得，

則，．①

由，

得．②

由①、②，得．③

設原點到直線的距離為，

，

．④

由③、④，得，故四邊形的面積為定值，且定值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數(為常數，).給你四個函數：①；②；③；④.

（1）當時，求不等式的解集；

（2）求函數的最小值；

（3）在給你的四個函數中，請選擇一個函數(不需寫出選擇過程和理由)，該函數記為，滿足條件：存在實數a，使得關于x的不等式的解集為，其中常數s，，且.對選擇的和任意，不等式恒成立，求實數a的取值范圍.

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【題目】隨著人們生活水平的不斷提高，人們對餐飲服務行業的要求也越來越高，由于工作繁忙無法抽出時間來享受美味，這樣網上外賣訂餐應運而生.若某商家的一款外賣便當每月的銷售量（單位：千盒）與銷售價格（單位：元/盒）滿足關系式其中,為常數，已知銷售價格為14元/盒時,每月可售出21千盒.

（1）求的值；

（2）假設該款便當的食物材料、員工工資、外賣配送費等所有成本折合為每盒12元（只考慮銷售出的便當盒數），試確定銷售價格的值，使該店每月銷售便當所獲得的利潤最大.（結果保留一位小數）

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【題目】已知函數.

（1）求的最大值；

（2）證明:對任意的,都有；

（3）設,比較與的大小,并說明理由.

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【題目】恩施州某電影院共有1000個座位，票價不分等次，根據電影院的經營經驗，當每張票價不超過10元時、票可全部售出；當票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出，為了獲得更好的收入，需要給電影院一個合適的票價，基本條件是：①為了方便找零和算賬，票價定為1元的整數倍．②影院放映一場電影的成本是4000元，票房收入必須高于成本，用x（元）表示每張票價，用y（元）表示該電影放映一場的純收入（除去成本后的收入）．

（1）求函數y＝f（x）的解析式；

（2）票價定為多少時，電影放映一場的純收入最大？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若圓和圓關于直線對稱，過點的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在一次人才招聘會上，有、兩家公司分別開出了他們的工資標準：公司允諾第一個月工資為8000元，以后每年月工資比上一年月工資增加500元；公司允諾第一年月工資也為8000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎上遞增，設某人年初被、兩家公司同時錄取，試問：

（1）若該人分別在公司或公司連續工作年，則他在第年的月工資分別是多少；

（2）該人打算連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（不計其他因素），該人應該選擇哪家公司，為什么？

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【題目】雙曲線 的左、右焦點分別為，過作傾斜角為的直線與軸和雙曲線的右支分別交于兩點，若點平分線段，則該雙曲線的離心率是（ ）

A. B. C. 2 D.

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【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于 兩點，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上的一個動點，且直線與直線分別交于 兩點．是否存在點使得以 為直徑的圓經過點？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，說明理由.

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